송용진
인하대 수학과 교수
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송용진의 수학 인문학 산책 ‘계몽령’이 되기를 바란다 요즘에는 세상이 시끄러워서 도대체 연구와 일에 집중할 수가 없다. 그동안 수학자로서 일에 집중하면서 즐겁게 살아왔는데 최근 벌어지고 있는 일련의 사건들은 평온했던 나의 가슴에 풍랑을 일으킨다. 뉴스를 볼 때마다 기분이 상해서 요즘에는 잘 보지 않는다. 진보와 보수의 갈등이 심화되는 것도 걱정이지만 일부 국민들의 극우화가 더 걱정이다. 정치에는 건전한 보수 정당과 세력이 꼭 필요하다. 법과 원칙을 우선적 가치로 여기는 사람들도 있어야 한다. 좌우의 균형이 잘 맞아야 좋은 나라가 되는 것 아니겠는가. 나 자신도 그동안 좌우 한쪽으로 치우치지 않으려고 노력해왔다. 그런데 일부 극우화된 사람들은 정상적인 좌우 간의 대립을 넘어서 가짜뉴스와 잘못된 믿음을 바탕으로 가상의 적들을 만들어내고 그 대상에 대해 분노한다.
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송용진의 수학 인문학 산책 성과에 집착하는 교육부 장관 얼마 전에 이주호 사회부총리 겸 교육부 장관은 “올해 고교학점제가 전면 실시되고 인공지능(AI) 디지털 교과서를 도입해 학생 개개인 맞춤형 교육을 실현한다”고 발표하였다. 국회가 AI 교과서의 ‘교과서 지위’를 박탈하는 법안을 통과시켰지만 그분은 AI 디지털 교과서를 교육 현장에 도입해야 한다는 의지를 굽히지 않고 있다. 도입을 반대하는 교사들이 많은 상황인 데다, 교과서 개발에 이미 수십억원씩을 쓴 출판사들이 크게 반발하고 있다. 이런 혼란스러운 사태가 벌어진 근본적인 원인은 교육부 장관이 성과에 집착한 나머지 충분한 연구와 준비 없이 속전속결로 밀어붙였기 때문이다. 설문조사에 따르면 수학 교사 중 90% 가까이가 AI 디지털 교과서 도입에 반대하고 있다.
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송용진의 수학 인문학 산책 판단력과 분별력이 중요하다 우리 각자가 가지고 있는 판단력과 분별력은 우리의 행복지수, 건강(수명), 경제 상황 등에 커다란 영향을 미치고, 우리 사회 전체의 안녕과 발전에도 작지 않은 영향을 끼친다. 그래서 나는 판단력과 분별력의 신장이 교육에서 가장 중요하게 여겨야 할 목표가 되어야 한다고 오래전부터 주장해 왔다. 작금의 국가 위기 상황도 국가 지도자급인 사람들의 판단력과 분별력 부족으로 인해 발생한 것 아닌가? 이번 사태에서 보듯 대통령의 판단력과 분별력은 아주 형편없는 수준이다. 우리는 그를 보면서 학벌이 좋거나 지위가 높은 사람들 중에 그런 수준의 사람들이 많을 것이라는 것을 쉽게 추측할 수 있다. 특히 자신들의 주관적인 판단에 따라 벌 줄 사람들을 선택하며 무소불위의 사회적, 정치적 권력을 휘두르고 있는 검사들 가운데 대통령과 비슷한 수준의 판단력을 가진 이들이 많을 것이라는 것을 상상해 보면 끔찍하기 짝이 없다. 개인이나 단체뿐만 아니라, 경우에 따라 국가의 운명을 좌지우지할 중요한 판결을 내려야 하는 법관들 중에는 그런 수준의 판단력을 가진 이들이 없기를 바라는 것은 너무 순진한 것일지도 모른다.
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송용진의 수학 인문학 산책 AI의 수학 정복 최근에 오픈AI가 출시한 인공지능(AI) 모델인 챗GPT-o1은 그 이전 모델인 챗GPT-4o에 비해 수학과 언어에 대한 이해에서 더 뛰어난 능력을 보여주고 있다. 이 모델은 그 전 모델과 달리 스스로 사고하는 능력을 갖추고 있다. 이전 모델들은 수학 문제가 주어졌을 때 어딘가에 그것과 유사한 문제가 있거나, 기하 문제와 같이 어떤 패턴이 있을 경우에만 풀 수 있었던 반면에 이 새로운 모델은 어느 정도는 스스로 생각하며 문제를 풀 수 있다. 얼마 전까지만 해도 수학적 사고를 할 수 있는 AI의 개발에는 구글의 딥마인드가 오픈AI보다 한발 앞서 있었다. 구글의 알파프루프(AlphaProof)는 지난 7월 국제수학올림피아드(IMO)와 동시에 거행된 AI수학올림피아드(AIMO)에서 가장 우수한 성적을 거두었다. 그러나 이후 불과 두 달 만에 나온 챗GPT-o1은 알파프루프보다 수행 능력이 더 앞서는 것으로 알려져 있다.
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송용진의 수학 인문학 산책 AI의 침공 인공지능(AI)에 대한 최근 소식 중 가장 시선을 끄는 것은 노벨 과학상 소식이다. 올해는 물리학상과 화학상 모두 노벨 인공지능상이라고 불러도 될 것 같다. 정통 물리학자와 화학자가 아니라 AI 개발에 혁신적인 역할을 했거나 AI를 이용하여 연구한 과학자들이 수상했기 때문이다. 노벨위원회의 파격적인 결정에 이제 노벨상도 미래지향적이 되었다고 박수를 보내는 사람들도 있다. 반면 과학의 전통을 중시하는 사람들은 이 결정을 공개 비판하기도 한다. 비판하는 사람들은 “머신러닝이나 인공신경망은 컴퓨터 과학이지 물리학은 아니다”라거나 “AI 기술은 아직은 과학의 영역에 속하는 것인지조차 불분명하다”고 말한다. AI 기술은 그 결과가 나오는 과정이 충분히 예견되거나 설명되지 못하는 데다, 보편적 진리나 법칙의 발견을 목적으로 하는 체계적 지식이라는 과학의 정의와도 잘 맞지 않는다. 하지만 AI는 이미 과학에서 가장 중요한 자리를 차지하고 있고 인류는 AI에 의해 발생할 아주 크고 빠른 변화를 각오해야 한다.
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송용진의 수학 인문학 산책 인공지능과 수학 인공지능(AI)과 빅데이터 등에서 새로운 기술과 아이디어 개발의 필요성이 점점 커져 가는 상황에서 수학의 중요성도 같이 커지고 있다. 몇년 전에 일본에서 경제산업성과 문부과학성이 공동으로 펴낸 ‘수리자본주의의 시대: 수학의 힘이 세상을 바꾼다’라는 제목의 보고서는 매우 획기적이다. 그 내용도 획기적이고 정부의 두 부처가 공동으로 학문의 어느 한 분야를 키워야 한다는 보고서를 낸 것도 매우 이례적이다. 이 보고서에는 “AI, 빅데이터 등을 중심으로 일어날 4차 산업혁명의 승자가 되기 위해 필요한 것은 첫째도 수학, 둘째도 수학, 셋째도 수학”이라고 하는 대목이 나온다.
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송용진의 수학 인문학 산책 AI, 수학문제를 풀다 매년 7월에 열리는 국제수학올림피아드(IMO)에서는 전 세계 약 110개국에서 온 600여명의 수학 천재들이 실력을 겨룬다. 올해는 영국에서 열렸는데 이 대회의 메인 스폰서는 XTX Markets라는 기업이다. 이 회사는 내년에 호주에서 열리는 IMO도 후원하기로 약속했다. 올해 대회에만 200만파운드(약 34억6894만원) 이상을 후원한 이 회사는 알고리즘을 통해 투자하는 금융회사이며 다양한 영역에서 공익적인 사업을 하고 있다. AI를 기반으로 일을 하는 이 회사는 유난히 수학에 관심이 많다. 그래서 올해 이 회사가 주관하는 AI 수학올림피아드(AIMO)라는 대회가 IMO와 함께 열렸다.
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송용진의 수학 인문학 산책 ‘만족하다’와 ‘만족시키다’ 우리말 중에 주로 수학에서만 쓰는 동사가 하나 있다. 그것은 바로 ‘만족하다’ 또는 ‘만족시키다’라는 동사다. 수학에서 “다음 조건을 만족하는 (또는 만족시키는) 함수 f(x)를 구하시오”와 같은 문장이 많이 등장한다. 그런데 문법적으로 만족하다가 맞느냐 아니면 만족시키다가 맞느냐에 대한 논란이 예전부터 있었다. 그래서 대학수학능력시험이나 한국수학올림피아드 등 중요 시험에서 수학문제 출제진은 늘 만족하다파와 만족시키다파로 나뉘어 왔다. 수학 교과서에서는 어느 쪽을 택해 쓰고 있을까? 교과서 집필진에게도 이것은 어려운 문제인지라 논란을 피하고자 만족에 대한 동사를 가급적 사용하지 않고 “~인 함수 f(x)를 구하시오”와 같은 문장을 주로 쓰고 있다. 그런데 참고서나 문제집에서는 만족하다파가 만족시키다파보다 좀 더 우세한 편이다. 그래서인지 수업시간에 대학생들에게 만족하다와 만족시키다 중 어느 쪽이 옳다고 생각하는지 손을 들어보라고 하면 만족하다파가 우세한 편이다.
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송용진의 수학 인문학 산책 공부 잘하는 아이들의 성향 머리가 좋다고 다 공부를 잘하는 것은 아니고 공부 잘한다고 다 머리가 좋은 것은 아니다. 다만 아주 탁월하게 공부를 잘하는 학생은 어느 수준 이상의 지능을 가지고 있어야 그 정도의 학업성취를 이룰 수 있겠지만 말이다. 하여간 타고난 지능이 곧 학업성취로 이어지지는 않는다. 그런데 이상하게도 많은 사람들이 그러한 사실은 인정하면서도 다른 한편으로는 공부를 잘하는 학생과 머리 좋은 학생을 동일시하는 경향이 있다. 명문 대학교나 과학영재학교를 나온 사람들은 평생 동안 ‘머리 좋은 사람’으로 인정받으며 사는 복을 누린다. 하지만 명문대를 나왔으나 그리 똑똑하지 못한 사람들을 그동안 나는 많이 봐왔다.
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송용진의 수학 인문학 산책 수학공부와 작업기억 오랜 세월 동안 유럽에서는 수학교육을 언어교육과 함께 기초소양교육의 양대 기둥으로 삼아왔다. 왜 그렇게 수학을 중시하고, 왜 누구나 어려운 수학을 공부해야 할까. 학생들은 대개 그저 좋은 학교에 들어가기 위해 공부를 할 뿐이다. 성인들 중에는 “기본적인 개념만 이해하면 됐지 왜 어렵게 배배 꼰 문제들까지 풀어야 하죠?”라든가 “어렵게 배웠던 수학을 고등학교를 졸업한 후에는 써먹은 적이 없어요”라고 하는 분들이 많다. 수학공부를 중시하는 것은 ‘수학적 지식’을 나중에 잘 써먹게 하기 위해서가 아니다. 그보다는 사고력을 키우는 것이 주요 목적이라 할 수 있다. 흔히 수학공부는 논리적 사고력과 문제 해결력을 키워준다고 말한다. 이런 추상적인 능력 외에도 학생들이 수학공부를 통해 얻을 수 있는 이점에는 여러 가지가 있다. 그중에 사람들이 놓치기 쉬운 다음과 같은 두 가지 이점에 대해 이야기해 보고자 한다.
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송용진의 수학 인문학 산책 지성의 발달과 인류의 행복지수 얼마 전 어느 젊은 과학 교수의 인터뷰 기사를 읽었다. 내용 대부분은 자신의 최근 몇 년간 연구 경험과 연구 철학 등에 대한 이야기였는데 그중 나를 깊은 상념에 빠지게 하는 대목이 몇 개 있었다. 그중 하나는 다음과 같다. “저는 지능이 너무 높아진 게 인간을 고통스럽게 한다고 생각하는 편이에요. 왜냐하면 보통 지적 능력이 그렇게 발달하지 않은 동물들은 정신적인 고통에 그렇게 시달리지 않을 거라는 생각이 들거든요. 우리는 정신이 발달하고 비대해지니까 육체적인 고통보다 정신적인 고통에 더 시달리잖아요.” 그는 이에 덧붙여 이렇게 이야기한다. “인간처럼 고도로 발달한 문명을 이룩한 종이 (지난 오랜 세월 동안) 없었던 이유는 그것이 생존에 썩 도움이 되지 않았기 때문이 아닐까요. 한국이 산업화되고 발달되었다고 해서 사람들이 더 행복해졌나요? 오히려 출생률은 더 떨어졌잖아요. 생물로 봤을 때 출생률 저하는 도태거든요.”
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송용진의 수학 인문학 산책 수학은 우주 언어 우리는 바닷가에서 푸른 바다와 찬란하게 빛나는 햇빛, 그리고 하늘에 떠 있는 멋진 구름과 싱그러운 바람에 짙은 감동과 즐거움을 느낀다. 태양이 지는 저녁 무렵 수평선에 걸린 해님이 하늘을 붉게 물들일 때 우리의 가슴은 떨린다. 밤하늘에 총총히 빛나는 별들을 보며 끝도 없이 광활한 우주를 떠올린다. 상쾌한 아침에 들리는 아름다운 새소리를 들으며 생명의 신비를 느낀다. 이 모두가 신(神)이 우리에게 준 선물이다. 수학, 과학보다 언어적 성격 강해 신이라는 단어가 종교적인 표현이라는 느낌이 드는 독자들은 신 대신 우주나 자연을 떠올리면 된다. 수학과 과학은 자연의 언어이자 우주의 언어이다. 신의 섭리, 우주의 섭리, 자연의 섭리가 모두 같은 말이다. 이때의 신이란 이 세상을 창조하고 주재하는 절대신을 의미한다. 수학과 과학은 신의 섭리를 이해하기 위해 발전해왔다. 신이 들려주고 보여주는 뜻을 우리는 수학과 과학을 통해 이해하고 있다. 신은 현상이라는 언어로 말을 한다. 수학은 신의 뜻을 이해하고 표현하기 위해 개발되어 온 언어이다. 뉴턴 이전에는 이해하지 못했던 신의 뜻을 뉴턴 이후에는 수학을 통해 조금씩 이해하게 되었다.