[영재교육원 수학특강](13) 배수판정법

고등학교 이전의 수학 교과에서 배수와 약수를 한 단원으로 학습하게 되는 것은 ‘5-가’와 ‘7-가’이다. 이 과정을 학습한 이후의 학생들은 대부분 끝수, 자릿수의 합 등을 통하여 배수를 판정하는 요령을 알고 있다.

하지만 곰곰이 생각해보면 교과서 어디에도 배수판정법을 설명해 놓은 곳은 없다. 다만 ‘5-가’ 익힘책의 단원 마지막에 몇 가지가 소개되어 있을 뿐이다. 의심이 간다면 지금 교과서를 펼쳐 보기 바란다.

배수판정법과 관련된 문제는 해마다 빠지지 않고 출제되는 단골 소재이다. 하지만 그 원리를 이해하지 못한 채 요령만으로 풀 수 있는 문제는 흔치 않다. 다음 2007년 기출문제를 살펴보자.

▶ 2007년 기출문제

1. 오리 72마리를 사기 위해 영수는 □4653□원을 지불하였습니다. 오리 한 마리의 값은 얼마입니까? (울산대)

2. 여섯 자리 수 ABCABC가 13의 배수인 이유를 설명하시오. (순천대)

3. 다음과 같은 규칙으로 수를 나열하였습니다. 괄호 안의 세 수의 합이 33의 배수가 되는 수는 모두 몇 쌍입니까? (전남대)
(10, 11, 12), (11, 12, 13), (12, 13, 14), …
…, (297, 298, 299), (298, 299, 300)

우리가 보통 알고 있는 배수판정법은 다음과 같은 것들이 있다.

이 외에 6의 배수, 12의 배수 등 합성수들은 두 가지 이상의 수의 공배수임을 이용하여 배수 여부를 판단한다.

끝수를 이용한 판정이나 자릿수의 합을 이용한 판정 모두 근본적인 원리는 같다. 위 표와 같은 요령으로 배수 판정이 가능한 이유를 알아보자.

▶ 끝수를 이용한 배수판정
끝수를 이용하여 배수를 판정할 수 있는 수들의 공통점을 살펴보면, 적당한 수를 곱했을 때 10, 100, 1000, 10000, …을 만들 수 있는 수임을 알 수 있다.
다섯 자리의 수 ABCDE가 있다. 이 수를 자릿값이 나타나도록 다음과 같이 나타내어 보자.

ABCDE=10000×A＋1000×B＋100×C＋10×D＋E

10, 100, 1000, …은 2의 배수이다. 따라서 끝수인 E가 2의 배수이면 나머지 A, B, C, D에 관계없이 ABCDE는 항상 2의 배수가 된다.
또한 10, 100, 1000, …은 5의 배수이면서 10의 배수이므로 마지막 일의 자리만으로 배수인지 아닌지 알 수 있다.

4에 적당한 수를 곱하여 만들 수 있는 가장 작은 자릿값은 100이다. 따라서 백의 자리 이상의 수는 모두 4의 배수이므로 십의 자리 이하의 수가 4의 배수이면 4의 배수가 된다. 같은 방식으로 8, 16, 32, …의 배수 혹은 25, 125, 625, …의 배수를 판정하는 기준을 세우는 것도 가능하다. 하지만 이런 큰 수들이 출제되는 경우는 거의 없다.

▶ 각 자리 숫자의 합을 이용한 배수판정
3과 9의 공통점은 10, 100, 1000, …을 나누었을 때의 나머지가 1로 같다는 점이다. 다섯 자리 수 ABCDE를 자릿값을 3으로 나눈 몫과 나머지를 이용하여 다음과 같이 나타내어 보자.

ABCDE= (9999＋1)×A＋(999＋1)×B＋(99+1)×C＋(9+1)×D＋E
= 3×(3333A＋333B＋33C＋33D)＋(A＋B＋C＋D＋E)

위와 같이 표현한 식이 바로 각 자리 숫자의 합으로 3의 배수(또는 9의 배수)를 판정할 수 있는 이유임은 부연 설명이 필요치 않을 것이다.

이 외에도 10, 100, 1000, …을 나누었을 때의 나머지가 일정한 규칙을 갖는 수는 간단한 방법으로 배수 판정이 가능하다.
예를 들어 10, 100, 1000, 10000, …에 가장 가까운 11의 배수는 각각 11, 99, 1001, 9999, …이다. 이를 이용하여 다섯 자리 수 ABCDE를 다음과 같이 나타내어 보자.

ABCDE= 10000×A＋1000×B＋100×C＋10×D＋E
= (9999＋1)×A＋(1001－1)×B＋(99+1)×C＋(11－1)×D＋E
= (9999A＋1001B＋99C＋11D)＋(A－B＋C－D＋E)

위 식에서 (9999A+1001B+99C+11D)는 11의 배수이므로 (A-B+C-D+E)가 11의 배수이면 ABCDE는 11의 배수임을 알 수 있다.
정리하면, 각 자리 숫자 중 홀수째 번 자리의 숫자들의 합에서 짝수째 번 자리의 숫자들의 합을 뺀 수가 0 또는 11의 배수가 되는 수는 11의 배수가 된다.

7의 배수 판정법은 여러 가지가 있지만 그 중 한 가지인 일의 자리 숫자부터 차례대로 각각 1, 3, 2, 6, 4, 5를 반복하여 곱한 수를 더한 수가 7의 배수인지 아닌지를 이용하는 방법이 있다. 이와 같은 판정법이 가능한 이유 또한 기본 원리는 같으므로 구체적인 과정은 독자 여러분께 맡기도록 한다.

결국 배수판정법은 각 자릿값을 나누었을 때 0을 포함한 나머지의 규칙을 이용한 것이다. 어떤 판정이든 자릿값과 각 자리 숫자의 곱의 합으로 표현하여 해결하는 점을 잊지 말자.

▶ 기출문제 풀이

1. 영수가 지불한 □4653□원은 오리 한 마리 값의 72배이므로 □4653□는 72의 배수가 되어야 한다.
72는 8과 9의 공배수이므로
① 8의 배수 : 53□가 8의 배수이어야 하므로 □
에 들어갈 수 있는 숫자는 6임을 알 수 있다.
② 9의 배수 : (□+4+6+5+3+6)이 9의 배수이어야 하므로 □는 3이 되어야 한다.
따라서 영수가 지불한 금액은 346536원이고, 오리 한 마리는 346536÷72=4813(원)이다.

2. ABCABC=ABC×1000+ABC=ABC×1001이라 할 수 있는데, 1001은 13에 77을 곱한 수이므로 주어진 ABCABC는 13의 배수임을 알 수 있다.

3. 연속하는 세 수를 □-1, □, □+1이라 하면 세 수의 합은 3×□이므로 항상 3의 배수이다. 따라서 연속하는 세 수의 합이 11의 배수이면 항상 33의 배수가 된다.
① 세 수의 합이 두 자리 수이면 3×AB로 나타낼 수 있고, 이 수가 11의 배수가 되기 위해서는 AB가 11의 배수이어야 하므로 이를 만족하는 두 자리 수는 33, 66, 99의 3가지
② 세 수의 합이 세 자리 수이면 3×ABC에서 (A+C)-B가 0 또는 11의 배수가 되어야 한다. 또한 가장 큰 세 수의 합이 897이므로 A는 3보다 작아야 한다. 즉, 조건을 만족하는 ABC의 가짓수는 300보다 작은 세 자리의 11의 배수의 개수와 같으므로 18가지
따라서 괄호 안의 세 수의 합이 33의 배수가 되는 수는 모두 21쌍이다.

[ 독자 퀴즈 ]
어떤 자연수 n을 모든 자연수의 뒤에 각각 써 넣을 때 얻어진 새로운 수가 모두 n으로 나누어떨어진다면 n을 마술수라 하자. 예를 들면 1, 2, 3, 4, 5, 6, …의 끝에 5를 쓰면 15, 25, 35, 45, 55, 65, …가 되어 모두 5로 나누어지므로 5는 마술수이다. (2005 외대부속외고)
(1) 두 자리 마술수를 모두 구하여라.
(2) 세 자리 마술수 중에서 10의 배수가 아닌 수를 모두 구하여라.
(3) 네 자리 마술수는 모두 몇 개인가?

(정답을 아시는 분은 시매쓰 홈페이지(www.cmath.co.kr)-<커뮤니티>-<경향 하이스터디>에 답을 올려놓으시면 정답자 중 5명을 추첨하여 ‘영재교육원 대비 사고력수학1031’시리즈를 드립니다.)

<시매쓰 수학연구소 강종태 연구원>